Rastgele seçilen bir sayının 1 ile başlama olasılığı nedir? Sezgisel cevap dokuzda bir, yani yaklaşık %11'dir. Ancak bu klasik olasılık argümanı yanlıştır. Gerçek dünyadan alınan hemen her büyük veri setinde (şehir nüfusları, nehir uzunlukları, fiyatlar, deprem derinlikleri, şirket gelirleri) ilk hane düzgün dağılmaz. 1 rakamı ilk hane olarak yaklaşık %30 oranında görülürken, 9 rakamı %5'ten az görülür. Bu durum, ölçüm biriminden bağımsız olarak (mil veya kilometre cinsinden nehir uzunlukları, 1938 veya 2022 nüfus sayımları) aynı kalmaktadır. Fibonacci dizisi, 2'nin kuvvetleri ve fizik sabitleri gibi saf matematiksel dizilerde bile geçerlidir.
Bu olguya Benford Yasası denir. İlk olarak 1881'de Simon Newcomb tarafından fark edilmiş, ancak ismini 1938'de Frank Benford'dan almıştır. Newcomb, logaritma tablolarının sayfalarının aşınma oranlarından yola çıkarak, sayıların logaritmalarının mantislerinin eşit olasılıklı olduğunu keşfetmişti. Benford ise 20 farklı kategoride 20.229 veri noktası toplayarak sistematik bir çalışma yapmış ve yasayı deneysel olarak doğrulamıştır. 1995'te Theodore Hill, 'rastgele dağılımlardan rastgele örneklemeler' teoremi ile yasanın neden bu kadar geniş bir uygulama alanına sahip olduğunu kanıtlamıştır.
Benford Yasası'nın matematiksel formülü oldukça basittir: P(d) = log₁₀(1 + 1/d), burada d=1,...,9 ilk hanedir. Bu formül, her hanenin beklenen frekansını verir: 1 için %30.1, 2 için %17.6, 3 için %12.5, 4 için %9.7, 5 için %7.9, 6 için %6.7, 7 için %5.8, 8 için %5.1, 9 için %4.6. Bu oranların toplamı %100'dür. Formül, logaritmik sayı doğrusunda [d, d+1) aralığının genişliğini ifade eder. Yani, logaritmik ölçekte düzgün dağılan bir rastgele değişken, bu ilk hane dağılımını üretir.
Nasıl Önlem Alınmalı?
Benford Yasası'nın en önemli özelliklerinden biri ölçek değişmezliğidir. Doğal olarak oluşan bir miktar (uzunluk, nüfus, fiyat) farklı birimlerle ölçüldüğünde, ilk hane dağılımı değişmemelidir. Örneğin, nehir uzunlukları kilometre veya mil cinsinden ölçüldüğünde aynı dağılım gözlenir. Ölçek dönüşümü altında değişmeyen tek dağılım, logaritmik formülle verilen dağılımdır. Bu nedenle Benford Yasası, evrensel bir sabit nokta olarak kabul edilir. Veri biliminde, muhasebede ve adli bilişimde sahtecilik tespiti için yaygın olarak kullanılır.
