İki arkadaş, Alice ve Bob, aynı şehirde, geniş bir nehrin karşı kıyılarında yaşar. Her gece Bob, karşı kıyıdaki ışıklara bakar ve hangisinin Alice'e ait olduğunu tahmin etmeye çalışır. Akıllıca bir düzenek kurarlar: Alice her gece saat 22:00'de ışıklarını 10 dakika boyunca açar. Bob da önceden belirlenen zamanda uzun pozlamalı bir fotoğraf çeker. Yıl sonunda Bob tüm fotoğrafları üst üste koyar ve umarız tek parlak nokta Alice'in penceresi olur. İşte Tannakian yeniden yapılandırma özünde budur.
Bir funktor, bir kategorinin resmini başka bir kategori içinde üretir. Bu, potansiyel olarak kayıplı bir kodlamadır, ancak her zaman kaynak kategorinin yapısını korur. Kaynak kategoride iki nesne arasında bir bağlantı (morfizm) varsa, hedef kategorideki görüntüleri arasında da her zaman bir bağlantı olacaktır.
Genel olarak, yalnızca bir resme bakarak kaynak kategorinin yapısını kurtarmak imkansızdır. Ancak hedef kategori yeterli çözünürlüğe sahipse ve mevcut tüm resimleri üst üste koyarsak, kaynak kategorinin morfizmlerini kurtarabiliriz. Tannakian yeniden yapılandırma tam olarak bunu yapar: tüm funktorların 'fotoğraflarını' birleştirerek hom-set'lerimizi yeniden inşa eder.
Detaylar ve Etkileri
Doğru çözünürlüğe sahip bir kategori, kümeler kategorisidir. Bu nedenle, (tarihsel nedenlerle 'co-presheaf' denilen) funktorlarına bakacağız. Böyle bir funktor, nesneleri kümelere ve morfizmleri fonksiyonlara eşler. Funktorlarla uğraşırken genellikle nesneleri ve morfizmleri değiştirip funktoru sabit tutarız. Burada ise nesneleri sabit tutup tüm funktorların bütününü kullanmakla ilgileniyoruz. Her nesneye, funktorlardan kümelere bir eşleme iliştireceğiz: basitçe her funktoru bu nesneye uygulayarak. Bu eşleme funktoriyeldir.
Bu eşlemeye fiber funktor denir. Bir nesneyi ve morfizmler aracılığıyla onun yakın çevresini araştırdığını düşünebilirsiniz. Bir hom-set'i araştırmak için, tüm olası funktorlar altındaki fonksiyonlar kümesine bakacağız. Bu küme, aslında iki fiber funktor ve arasındaki doğal dönüşümler kümesidir, yani funktor kategorisinde bir hom-set'tir. Doğal dönüşümler kümesi bir end olarak yazılabilir: . End, dev bir çarpım gibidir. Benzetmemizde, tüm fotoğrafların süperpozisyonuna karşılık gelir.
Herhangi bir çarpımda olduğu gibi, bileşenlerden herhangi biri boşsa, end'in tamamı boştur. End, her olası funktor üzerinden gittiğinden, 'de boş olmayan ancak 'de boş olan bir funktoru seçmemizi ne engeller? Böyle tek bir bozuk elma tüm partiyi bozar (boş olmayan bir kümeden boş bir kümeye fonksiyon yoktur). End'i nontrivial yapan şey funktoriyelliktir. Ne zaman bir morfizm varsa, otomatik olarak herhangi bir funktor için bir fonksiyonumuz olur. Aslında, Yoneda gömülmesinin tam ve sadık olması nedeniyle, içindeki morfizmler kadar çok sayıda fonksiyonumuz vardır. İzomorfizmine sahibiz: . Tüm funktorların görüntülerini üst üste koyarak orijinal hom-set'i kurtarırız.
Bunu kanıtlamak için çift Yoneda hilesini kullanırız. İlk olarak, Yoneda lemmasını kullanarak end altındaki funktorları patlatırız: . Ardından Yoneda indirgemesini uygulayarak üzerinden 'entegre ederiz'. Sonuç: , ki bu da yine Yoneda ile eşdeğerdir: . Örnek olarak, Tannakian yeniden yapılandırmayı basit bir tek nesneli kategoriye uygulayalım. Böyle bir kategori, bileşim altında bir monoid oluşturan tek bir hom-set'e sahiptir. Küme değerli bir funktor, tek nesneyi bir kümeye eşler - bu monoidin bir temsili. Bu tür funktorlar arasındaki doğal dönüşümlere eşdeğişken haritalar denir. Tannakian yeniden yapılandırma, monoidi tüm temsillerinin bütününden kurtarmamızı sağlar. Doğallık/eşdeğişkenliğin bir end tanımına yerleşik olduğuna dikkat edin.
Kaynak: bartoszmilewski.com
